Objetivos

Comparar experimentalmente a resistência fornecida pela lei de Ohm e a resistência incremental, para um resistor não-linear (continuação da postagem anterior).

Introdução

Discutimos na postagem anterior os métodos de se calcular a resistência de um bipolo resistivo genérico, nomeadamente, (i) método incremental e (ii) pela razão tensão/corrente. Todavia, ali comparamos a aderência de um método ao outro e não testamos a validade da lei de Ohm para um bipolo genérico, cuja resistência tenha sido calculada pelo método incremental.

A lei de Ohm afirma que a tensão em um resistor é diretamente proporcional à corrente que passa pelo mesmo. Conforme mencionamos antes, isso só é verdadeiro para bipolos ditos ôhmicos ou resistores lineares.

A resistência elétrica de um bipolo (operando em regime DC) pode ser obtida de duas formas:

  • Resistência pontual – divide-se a tensão pela corrente
  • Resistência incremental – divide-se os incrementos correspondentes na tensão e na corrente

R_{Ohm} = \frac{V}{I} \quad {\rm e} \quad R_{incr} = \frac{\Delta V}{\Delta I}

Aqui denotamos a resistência pontual por R_{Ohm} , embora isso não deva ser interpretado como observância da lei de Ohm pelo comportamento do bipolo. Pode ser que o bipolo seja não-ôhmico.

Definicoes da resistencia

Figura 1 – Definições da resistência elétrica

A figura 1 ilustra as definições de resistência. Os gráficos são apenas ilustrativos, não significando que uma das resistências seja sempre maior que a outra.

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Comparação das definições e a lei de Ohm

Considere o conjunto de dados exibidos na figura 2 abaixo, que foram obtidos com uma lâmpada incandescente (lâmpada de filamento de tungstênio de tensão nominal 12 V e potência nominal 5 W) ensaiada com tensões de 0,5 a 9,5 V e incrementos de 0,5 V. Calcularam-se as resistências segundo as definições dadas acima.

Dados V I R

Figura 2 – Tensões, correntes e resistências na lâmpada incandescente

Note que a resistência incremental oscila bastante, devido ao seu caráter de ser uma razão de incrementos, que aproxima a derivada da função I x V. A derivada amplia as flutuações da função, uma vez que ela exprime a taxa de variação para um dado incremento.

Verifiquemos agora se a lâmpada da figura 2 se comporta como um bipolo ôhmico em algum intervalo de tensões e correntes, dentro de uma tolerância de desvio de até 5%, por exemplo. Para tanto, devemos dispor de um modelo de referência. Uma das formas de se obter um modelo seria ajustar uma reta que melhor caracterize a regressão linear dos dados, segundo um critério de mínimo erro quadrático, para cada um dos dois casos acima (R_{Ohm} e R_{incr} ).

O método de regressão linear foi revisto em uma postagem anterior, em que buscamos obter a reta do tipo y = ax, sendo a = estimativa da resistência. Naquela ocasião, a intenção era obter uma reta passando pela origem. Agora desejamos retas que melhor se ajustem aos segmentos “mais lineares” dos gráficos das resistências. Ou seja, desejamos retas do tipo y = ax + b, com b \neq 0 .

Realizando os ajustes de regressão linear de mínimos quadrados para os dados da figura 2, obtemos os seguintes resultados:

  • Resistência pontual: r_{Ohm}=2,4 \cdot k + 11,2
  • Resistência incremental: r_{incr}=3,9 \cdot k + 22,2

Utilizamos a variável k nas expressões acima para indicar a variável indepdendente, porém no presente caso ela coincide com a tensão aos terminais da lâmpada, isto é , V_{Lamp}(k) = k , com 0,5 \leq k \leq 9,5 . A figura 3 apresenta os resultados do ajuste.

Regressoes e erros das resistencias

Figura 3 – à esquerda, os resultados do ajuste de regressão linear e à direita os gráficos dos erros. No gráfico da direita há a indicação da cota de 5% de desvio

Note que a flutuação no caso da resistência incremental é bastante grande em torno da reta melhor ajustada. Os gráficos dos erros mostram os erros relativos, dados pelas expressões:

erro_{Ohm}(k) = \frac {\left | r_{Ohm} - R_{Ohm} \right |} {R_{Ohm}} \quad {\rm e } \quad erro_{incr}(k) = \frac {\left | r_{incr} - R_{incr} \right |} {R_{incr}}

sendo que denotamos por r_{incr} e r_{Ohm} os valores das resistências obtidos das retas do ajuste linear e, por R_{incr} e R_{Ohm} , os valores obtidos dos cálculos das resistências incrementais e pontuais, respectivamente.

Na figura 3 está indicado no gráfico da direita a cota de 5% de desvio, que permite determinar o intervalo em que a lâmpada tem um comportamento ôhmico com desvio inferior a 5%. Os resultados obtidos com a resistência pontual indicam uma faixa relativamente extensa e em concordância com o que se esperaria observando-se a figura 2. Já a resistência incremental não só apresenta ero grande, como também mostra uma tendência contraditória à exibida pela resistência pontual. Veja a figura 3 à esquerda – a resistência incremental apresenta uma tendência mais linear para valores menores de V do que para valores maiores, ao passo que o contrário ocorre com a resistência pontual. Ambos problemas apontam para a instabilidade numérica do cálculo da resistência incremental.

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Resistência incremental a partir de modelo

Uma forma de se obter melhores valores para a resistência incremental é ajustar um modelo polinomial aos dados da característica corrente x tensão e obter os incrementos \Delta I e \Delta V a partir do modelo.

Suponhamos que a curva I x V possa ser modelada por um polinômio do tipo I = V^a . Nesse caso, tomando-se os logaritmos (de base 10, por exemplo) obteremos \log{I} = a \cdot \log{V} .

caracteristica com escalas log

figura 4

A figura 4 apresenta os gráficos da figura 2, porém em escalas logaritmicas (exceto o gráfico da resistência incremental, que é o que desejamos obter a partir do modelo que vamos determinar). Não conhecemos o valor do expoente a da lei polinomial I = V^a . Porém, ao apresentarmos em gráfico logaritmico, a lei polinomial tornou-se uma correlação linear entre log I e log V. Portanto, ajustando-se uma reta aos pares (log V , log I), poderemos determinar os parâmetros do ajuste polinomial. Note-se, entretanto, que a reta não passará pela origem, de forma que deveremos ter uma reta do tipo y = ax+b com b \neq 0 . Realizando-se o ajuste obtemos:

\log{I} = 0,56 \cdot \log{V} - 1,077

Para apresentar no gráfico, construiremos a reta

r_{logVI} = I = 10^{0,56 \cdot \log{V} - 1,077}

apresentada na figura 5 em escala log x log juntamente com os pontos (V,I). Observa-se um excelente ajuste do modelo linear aos pontos.

modelo_polinom_Rincr

Figura 5

A lei polinomial será agora obtida a partir de \log{I} = a \cdot \log{V} +b , determinando-se uma constante c tal que b = log c. Temos:

\begin{array}{rcl} \log{I} & = & 0,56 \cdot \log{V} - 1,077 \\ & = & 0,56 \cdot \log{V} - \log{(10^{1,077})} \\ I &=& 10^{-1,077} \cdot a \cdot V^{0,56} \end{array}

A partir dos pontos (V,I) obtidos do modelo polinomial I = 10^{-1,077} \cdot a \cdot V^{0,56} , pode-se calcular a resistência incremental.

A figura 6 apresenta o gráfico de I = 10^{-1,077} \cdot a \cdot V^{0,56} indicado como I_{poly} (k) . São mostrados também os pontos resultates do cálculo da resistência incremental a partir do modelo polinomial, indicada como R_{incr2} (k) . Para efeito de comparação, são também mostrados os gráficos da resistência incremental R_{incr2} (k) , anteriormente calculada diretamente dos dados e da resistência pontual R_{Ohm} (k) . Note agora o comportamento mais regular da resistência incremental.

Modelo polinomial VxI e resistencias

Figura 6

Podemos agora ajustar uma reta aos pontos da resistência incremental R_{incr2} (k) , calculada a partir do modelo e determinar o erro percentual. A figura 7 mostra os gráficos respectivamente da regressão linear dos pontos, denotada por r_{incr2} (k) e do erro percentual erro_{incr2} (k) .

regressao e erro modelo polinomial

Figura 7

Note a maior semelhança agora dos comportamentos dos erros percentuais da resistência incremental R_{incr2} (k) e da resistência pontual R_{Ohm} (k) . A resistência incremental e o erro são calculados respectivamente por:

R_{incr2} = \frac{\Delta V(k)}{\Delta I_{poly}(k)} \quad {\rm e } \quad erro_{incr}(k) = \frac {\left | r_{incr} - R_{incr} \right |} {R_{incr}}

A faixa em que a aproximação da lei de Ohm em relação à resistência incremental calculada pelo modelo apresenta desvio inferior a 5% é bastante similar se comparada ao desvio em relação à resistência pontual.